來做點江主席出的數學題
最後更新: 2015-07-29
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那麼問題來了，“尤長數學”的江主席，數學水平究竟到了何等境界呢？
卻說2006年，江主席的母校上海交大迎來110周年校慶，學長穿了一身西裝，配著一條鮮紅的領帶，按計劃要作一個10分鐘的演講。學長取下手表放在身旁，來了一個幽默的開場白：“今天給我10分鐘的時間講話。我已經整整80歲了，不像你們學數學、學Computer Science的，對時間估算得這麼準確。”久違的長者口吻，依然是那麼機智，讓人會心一笑。
年齡雖長，話雖謙遜，江主席畢竟還是“尤長數學的”。據庫恩在《他改變了中國——江澤民傳》中描述，2000年的時候，已經74歲的江主席還能幫孫兒做數學作業：
“我已經到孫兒們讓我幫他們做作業的歲數了。”有一個孩子讓他做一道數學題，他很快用代數做了出來，小孩認為不正確，江只好回過頭去用算術把問題解決了，“我差點做不出來，真不大容易。”
也是在那一年，江主席出席了澳門回歸祖國一周年慶典活動。訪問澳門濠江中學時，向該校老師表示數學是很重要的一門學科，他更當場提出他讀中學時所學的一道“五點共圓”平面幾何題：
假設：任意一個星形，五個三角形，外接圓交於五點。求證：這五點共圓。（在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圓順次相交的交點分別為K、O、N、M、L。求證：K、O、N、M、L五點共圓。）
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五星角是我國的主要國家象徵，江主席出此題，真是寓意精妙。據說，數學大師丘成桐也用了半小時才悟出此難題答案。丘成桐在一次演講中說：
一個很有名的例子，江澤民主席在澳門濠江中學提出的五點共圓的問題。我第一次聽說覺得非常有意思，很多讀者對江主席這個問題都很感興趣，都想從基本定理出發推導這個定理。最近我很驚訝地聽說，很多數學教育家們堅持不教證明，原因是學生們不容易接受這種思考。誠然，從一個沒有邏輯思想訓練的學生，到接受這種訓練是有代價的。怎麼樣訓練邏輯思考是比中學學習其他學科更為重要的。
破解這道題，用到的基本原理僅僅是初中知識：圓內接四邊形對角互補（及其逆定理）。但正如所有的歐氏幾何題一樣，雖然已有機器證明的方法，依然是不錯的腦力訓練，如果不夠機智敏銳，沒有邏輯思考的能力，縱然具備高深的知識，也無計可施。最近，在國際數學奧林匹克競賽上美國隊首次擊敗中國隊，這些比賽題目也並沒有用到大學裡的高等數學知識，但題目依然非常難，104支參賽隊，有74支得了0分。
這也是為什麼，小學生的數學作業難倒大學教授的情況，並不稀罕。前面提到，74歲的江主席給孫兒解數學作業，先用了代數方法，後用了算術方法。對小學生來說，用代數方法，可以理解為用了更先進的數學工具，工具先進了，人就可以懶一些，而用算術方法，就要費更多的腦筋了；好比不乘電梯堅持爬樓，可以鍛煉身體，為了訓練腦力，許多小學老師往往規定解題不許用代數，只許用算術。江主席在如此高齡，還勇於“爬樓”，確實是“不大容易”。
但江主席想必是樂在其中的，“中文、英文、數學和科學都是很重要的學科，特別是數學。”江主席當時向在場的澳門老師表示，自己最喜歡數學科，因為它可以啟發思考。
還是在那一年，江主席為久負盛名的美國《科學》雜誌撰寫了一篇社論，題為《科學在中國：意義與承諾》，文中特別提到了，中國是一個發展中國家，推進科學發展必須堅持“有所為，有所不為”。而數學則被他列為要集中力量取得新進展的學科之一。與數學並列，被他特別點名要“有所為”的，還有動植物基因、信息科學、神經科學、人工智能、生態科學、凝聚態物理和地球科學。
作為數學愛好者，江主席也是幸運的。2002年，第24屆國際數學家大會在中國舉行，這是100多年來中國第一次，也是至今唯一一次主辦這個四年一度的國際盛會。江主席出席了開幕式，並應邀為該屆菲爾茨獎獲得者，頒發這個“數學諾貝爾獎”。
給自己喜愛的項目的頂尖選手頒獎，人生快意，莫過於此。菲爾茲獎都是頒給40歲以下的青年才俊的，那一屆的菲爾茲獎得主是法國數學家洛朗•拉佛閣和俄羅斯數學家弗拉基米爾•沃沃斯基，如果當時有一位中國人獲獎，作為長者的江主席一定會更欣慰。
江主席對數學的前沿問題也有關注。
1965年，美國控制論學者L.A.扎德發表論文《模糊集合論》，建立了模糊數學這門新學科。江主席看到關於模糊數學的論述，很感興趣，打電話請教數學家蘇步青一些概念問題。蘇步青作了回答，還寄了一本關於模糊數學及其應用的書籍給他，江主席當即複信表示感謝。扎德教授有一本著作被翻譯成中文，叫《模糊集合、語言變量及模糊邏輯》（The Concept of a Linguistic Variable ＆ Its Application to Approximate Reasoning），不知是否也在蘇步青寄去的書裡。
模糊數學打破了非此即彼的絕對關係，在管理、決策上能有很多應用，江主席一定從中有所“啟發思考”。
1997年，江主席在美國哈佛大學演講，又忍不住大談特談數學對他的影響。
除了在演講中回顧“先秦的數學家提出了勾股定理，南北朝的祖衝之算出圓周率”，為這兩個在國際上常被忽略的“中國貢獻”再次正名，他還特別談到了自己對《莊子》中數學思想的領悟：
記得我在高中讀書時，老師給我們講微積分，第一課就是講《莊子》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，很形象地使我建立起極限的概念。這表明中國古人就已認識到事物的發展變化是無限的，也說明我們的先人對自然界的認識已達到相當的水平。早在公元前二千五百年，中國人就開始了仰觀天文、俯察地理的活動，逐漸形成了“天人合一”的宇宙觀。
幾年後，在視察北京理工大學時，江主席看到黑板上在講數學導數的應用時，又興奮了起來。據北京工業大學數理學院教授梁在中回憶，江主席高興的拿起一支黃色粉筆，欣然在黑板上寫道：“莊子曰：一尺之錘，日取其半，萬世不竭。”他一邊寫，一邊繪聲繪色的給同學們講這句話的意思，就是一尺那麼長的一根棍，每天取其中的一半，這樣永遠取下去，從理論上講，是取不窮盡的。
同時，江主席還用數學式子把這句話的含義準確的表達出來，並說這是我們老祖宗的極其重要的極限思想。講完這句話以後，他又緊接著給同學們講導數的概念，並在黑板上寫出公式。
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梁在中回憶，講完極限的思想、導數的概念後，江主席興致勃勃地走下講台，看到屏幕上的講課內容，一邊說道：“啊！講求導數極值的方法”，一邊揮手和同學們告別。（注：準確說，應該是通過求導推算函數的極值，故應是“導數求極值”）
雖然江主席提到的這些內容，往往只是在高等數學入門課上被一筆帶過，但這可能是數學史上被爭論最久的一個難題。無論是在哈佛的演講，還是在北理工的課堂上，江主席都引用了《莊子》裡的那段名言。與莊子這段話相對的，是古希臘智者所思考的芝諾悖論，要是莊子的話正確，是不是“阿基里斯永遠也追不上烏龜” 了？
關於芝諾悖論，有過很多文章解釋，這裡不再展開討論，但必須說明一點，許多自以為解決了這個悖論的文章，其實都是有漏洞的，或者並沒有解釋透徹。比如，用無窮級數收斂來證明，這個證明用到了極限概念。而極限概念，正是為了解決芝諾悖論而定義出來的。用這個概念再反證這個悖論明顯是不合理的。如果有人不服氣，自認為可以輕易地圓滿解釋這個矛盾，不妨自問一下，憑什麼認為自己比牛頓（注：牛頓被稱為微積分的“發明者”，請注意和“發現者”這個詞的區別）、貝克萊、羅爾、歐拉、馬克思（注：馬克思曾批評極限概念建立者柯西“莫名其妙地揚棄了差值”）等大師更有信心。
千萬不要小看了東西方先哲在極限問題上的這個思想碰撞，其揭示的矛盾甚至導致了第二次數學危機，從危機爆發的十七世紀直到二十一世紀，始終都存在著不同意見。而現代物理學的許多成果，至今依然在繼續回答這個讓江主席興奮的自然奧秘。
從平面幾何這樣常能難倒數學教授的初等數學基本功，到微積分這樣的高等數學基礎，以至於模糊數學這樣的前沿數學學科，已是長者的江主席依然都有涉獵，我們實在很難想象，當年在交大數學成績名列年級第一的“江博士”，數學功底是多麼深不可測。
附：江主席“五點共圓”問題的一個證明
連接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA
∵∠ACN＋∠AIN＝∠NHD＋∠AIN＝∠NID＋∠AIN＝180° ∴A、I、N、C四點共圓
同理A、K、I、C四點共圓從而A、C、N、K四點共圓
∴∠GMN＝∠GCN＝∠ACN＝180°－∠AKN又∠LMG＝180°－∠LFG＝∠LFA＝∠LKA
∴∠LMN＝∠LMG＋∠GMN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）
∴∠LMN＋∠LKN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）＋∠LKN＝180° 故K、L、M、N四點共圓
同理可證O、L、M、N四點共圓
∴K、O、N、M、L五點共圓。
（來源：倍可親）
