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越劇之鄉:婉轉聲中話豐年

美媒:越來越多的中國人把孩子...

76歲老人畫百只雞 系王羲之...

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中國科幻文學的春天在哪裡

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《秦兆陽文集》:一座文學雕像

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矽穀知名企業最青睞的10所大...

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迪倫首談諾貝爾文學獎:將前往...

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從清華到斯坦福 女博士反思:...

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來做點江主席出的數學題

最後更新: 2015-07-29
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  有一篇文章考證歷史,得出了原國家主席江澤民掌握外語竟有八門之多的結論,令後生驚嘆。其實江主席不僅語言、藝術方面造詣出眾,對自然科學的掌握也很了得。他在大學時就得“江博士”雅號,足見家學深厚,愛好廣博。在畢業紀念册上,同學們留言中提到:“博士自幼即聰慧異常,在校成績,每列前茅,尤長數學,為全級冠。”

  那麼問題來了,“尤長數學”的江主席,數學水平究竟到了何等境界呢?

  卻說2006年,江主席的母校上海交大迎來110周年校慶,學長穿了一身西裝,配著一條鮮紅的領帶,按計劃要作一個10分鐘的演講。學長取下手表放在身旁,來了一個幽默的開場白:“今天給我10分鐘的時間講話。我已經整整80歲了,不像你們學數學、學Computer Science的,對時間估算得這麼準確。”久違的長者口吻,依然是那麼機智,讓人會心一笑。

  年齡雖長,話雖謙遜,江主席畢竟還是“尤長數學的”。據庫恩在《他改變了中國——江澤民傳》中描述,2000年的時候,已經74歲的江主席還能幫孫兒做數學作業:

  “我已經到孫兒們讓我幫他們做作業的歲數了。”有一個孩子讓他做一道數學題,他很快用代數做了出來,小孩認為不正確,江只好回過頭去用算術把問題解決了,“我差點做不出來,真不大容易。”

  也是在那一年,江主席出席了澳門回歸祖國一周年慶典活動。訪問澳門濠江中學時,向該校老師表示數學是很重要的一門學科,他更當場提出他讀中學時所學的一道“五點共圓”平面幾何題:

  假設:任意一個星形,五個三角形,外接圓交於五點。求證:這五點共圓。(在任意五角星AJEIDHCGBF中,△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圓順次相交的交點分別為K、O、N、M、L。求證:K、O、N、M、L五點共圓。)
 
 
  五星角是我國的主要國家象徵,江主席出此題,真是寓意精妙。據說,數學大師丘成桐也用了半小時才悟出此難題答案。丘成桐在一次演講中說:

  一個很有名的例子,江澤民主席在澳門濠江中學提出的五點共圓的問題。我第一次聽說覺得非常有意思,很多讀者對江主席這個問題都很感興趣,都想從基本定理出發推導這個定理。最近我很驚訝地聽說,很多數學教育家們堅持不教證明,原因是學生們不容易接受這種思考。誠然,從一個沒有邏輯思想訓練的學生,到接受這種訓練是有代價的。怎麼樣訓練邏輯思考是比中學學習其他學科更為重要的。

  破解這道題,用到的基本原理僅僅是初中知識:圓內接四邊形對角互補(及其逆定理)。但正如所有的歐氏幾何題一樣,雖然已有機器證明的方法,依然是不錯的腦力訓練,如果不夠機智敏銳,沒有邏輯思考的能力,縱然具備高深的知識,也無計可施。最近,在國際數學奧林匹克競賽上美國隊首次擊敗中國隊,這些比賽題目也並沒有用到大學裡的高等數學知識,但題目依然非常難,104支參賽隊,有74支得了0分。

  這也是為什麼,小學生的數學作業難倒大學教授的情況,並不稀罕。前面提到,74歲的江主席給孫兒解數學作業,先用了代數方法,後用了算術方法。對小學生來說,用代數方法,可以理解為用了更先進的數學工具,工具先進了,人就可以懶一些,而用算術方法,就要費更多的腦筋了;好比不乘電梯堅持爬樓,可以鍛煉身體,為了訓練腦力,許多小學老師往往規定解題不許用代數,只許用算術。江主席在如此高齡,還勇於“爬樓”,確實是“不大容易”。

  但江主席想必是樂在其中的,“中文、英文、數學和科學都是很重要的學科,特別是數學。”江主席當時向在場的澳門老師表示,自己最喜歡數學科,因為它可以啟發思考。

  還是在那一年,江主席為久負盛名的美國《科學》雜誌撰寫了一篇社論,題為《科學在中國:意義與承諾》,文中特別提到了,中國是一個發展中國家,推進科學發展必須堅持“有所為,有所不為”。而數學則被他列為要集中力量取得新進展的學科之一。與數學並列,被他特別點名要“有所為”的,還有動植物基因、信息科學、神經科學、人工智能、生態科學、凝聚態物理和地球科學。

  作為數學愛好者,江主席也是幸運的。2002年,第24屆國際數學家大會在中國舉行,這是100多年來中國第一次,也是至今唯一一次主辦這個四年一度的國際盛會。江主席出席了開幕式,並應邀為該屆菲爾茨獎獲得者,頒發這個“數學諾貝爾獎”。

  給自己喜愛的項目的頂尖選手頒獎,人生快意,莫過於此。菲爾茲獎都是頒給40歲以下的青年才俊的,那一屆的菲爾茲獎得主是法國數學家洛朗•拉佛閣和俄羅斯數學家弗拉基米爾•沃沃斯基,如果當時有一位中國人獲獎,作為長者的江主席一定會更欣慰。

  江主席對數學的前沿問題也有關注。

  1965年,美國控制論學者L.A.扎德發表論文《模糊集合論》,建立了模糊數學這門新學科。江主席看到關於模糊數學的論述,很感興趣,打電話請教數學家蘇步青一些概念問題。蘇步青作了回答,還寄了一本關於模糊數學及其應用的書籍給他,江主席當即複信表示感謝。扎德教授有一本著作被翻譯成中文,叫《模糊集合、語言變量及模糊邏輯》(The Concept of a Linguistic Variable & Its Application to Approximate Reasoning),不知是否也在蘇步青寄去的書裡。

  模糊數學打破了非此即彼的絕對關係,在管理、決策上能有很多應用,江主席一定從中有所“啟發思考”。

  1997年,江主席在美國哈佛大學演講,又忍不住大談特談數學對他的影響。

  除了在演講中回顧“先秦的數學家提出了勾股定理,南北朝的祖衝之算出圓周率”,為這兩個在國際上常被忽略的“中國貢獻”再次正名,他還特別談到了自己對《莊子》中數學思想的領悟:

  記得我在高中讀書時,老師給我們講微積分,第一課就是講《莊子》中的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,很形象地使我建立起極限的概念。這表明中國古人就已認識到事物的發展變化是無限的,也說明我們的先人對自然界的認識已達到相當的水平。早在公元前二千五百年,中國人就開始了仰觀天文、俯察地理的活動,逐漸形成了“天人合一”的宇宙觀。

  幾年後,在視察北京理工大學時,江主席看到黑板上在講數學導數的應用時,又興奮了起來。據北京工業大學數理學院教授梁在中回憶,江主席高興的拿起一支黃色粉筆,欣然在黑板上寫道:“莊子曰:一尺之錘,日取其半,萬世不竭。”他一邊寫,一邊繪聲繪色的給同學們講這句話的意思,就是一尺那麼長的一根棍,每天取其中的一半,這樣永遠取下去,從理論上講,是取不窮盡的。

  同時,江主席還用數學式子把這句話的含義準確的表達出來,並說這是我們老祖宗的極其重要的極限思想。講完這句話以後,他又緊接著給同學們講導數的概念,並在黑板上寫出公式。
 
 
  梁在中回憶,講完極限的思想、導數的概念後,江主席興致勃勃地走下講台,看到屏幕上的講課內容,一邊說道:“啊!講求導數極值的方法”,一邊揮手和同學們告別。(注:準確說,應該是通過求導推算函數的極值,故應是“導數求極值”)

  雖然江主席提到的這些內容,往往只是在高等數學入門課上被一筆帶過,但這可能是數學史上被爭論最久的一個難題。無論是在哈佛的演講,還是在北理工的課堂上,江主席都引用了《莊子》裡的那段名言。與莊子這段話相對的,是古希臘智者所思考的芝諾悖論,要是莊子的話正確,是不是“阿基里斯永遠也追不上烏龜” 了?

  關於芝諾悖論,有過很多文章解釋,這裡不再展開討論,但必須說明一點,許多自以為解決了這個悖論的文章,其實都是有漏洞的,或者並沒有解釋透徹。比如,用無窮級數收斂來證明,這個證明用到了極限概念。而極限概念,正是為了解決芝諾悖論而定義出來的。用這個概念再反證這個悖論明顯是不合理的。如果有人不服氣,自認為可以輕易地圓滿解釋這個矛盾,不妨自問一下,憑什麼認為自己比牛頓(注:牛頓被稱為微積分的“發明者”,請注意和“發現者”這個詞的區別)、貝克萊、羅爾、歐拉、馬克思(注:馬克思曾批評極限概念建立者柯西“莫名其妙地揚棄了差值”)等大師更有信心。

  千萬不要小看了東西方先哲在極限問題上的這個思想碰撞,其揭示的矛盾甚至導致了第二次數學危機,從危機爆發的十七世紀直到二十一世紀,始終都存在著不同意見。而現代物理學的許多成果,至今依然在繼續回答這個讓江主席興奮的自然奧秘。

  從平面幾何這樣常能難倒數學教授的初等數學基本功,到微積分這樣的高等數學基礎,以至於模糊數學這樣的前沿數學學科,已是長者的江主席依然都有涉獵,我們實在很難想象,當年在交大數學成績名列年級第一的“江博士”,數學功底是多麼深不可測。

  附:江主席“五點共圓”問題的一個證明

  連接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA

  ∵∠ACN+∠AIN=∠NHD+∠AIN=∠NID+∠AIN=180° ∴A、I、N、C四點共圓

  同理A、K、I、C四點共圓從而A、C、N、K四點共圓

  ∴∠GMN=∠GCN=∠ACN=180°-∠AKN又∠LMG=180°-∠LFG=∠LFA=∠LKA

  ∴∠LMN=∠LMG+∠GMN=∠LKA+(180°-∠AKN)

  ∴∠LMN+∠LKN=∠LKA+(180°-∠AKN)+∠LKN=180° 故K、L、M、N四點共圓

  同理可證O、L、M、N四點共圓

  ∴K、O、N、M、L五點共圓。

   (來源:倍可親)